z << 1 時的哈伯紅移和都卜勒紅移相同

令FRW時空的尺度以 R_0為單位
則 a=R/R_0,  且  \dot a =H

在 a-1<<0, 則泰勒展開
a(t) = 1 − H _0(t_0 − t)

由紅移 z 的定義可知
z =（λ_0 − λ）/ λ =1/a − 1 ～H _0(t_0 − t)～H _0 r/c,

因為 z << 1 時
H_0~v/r ，
可得
z ∼ H_0r/c=v/c
得證。

其實也不需要這麼麻煩， z<<1,  宇宙膨不膨脹影響不大，光源移動速度和宇宙膨脹速度本來就很接近。上面的證明只是在說明一切合理 ，應該說 consistent 。

不合理的話，一定是理論哪裡出問題。通常我們會說廣義相對論的修正，應該在極限時逼近古典的數值，不然不是廣義相對論錯了，就是挖到寶了。